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5 manières de résoudre des relations de récurrence : quelles sont les méthodes idéales ?

Une relation de récurrence est le fait de définir une suite par son premier terme, puis qui définit également chaque terme à partir du précédent. Il y a différentes méthodes de résoudre les relations de récurrence comme la méthode de la suite arithmétique, ou la suite géométrique, ou encore les fonctions génératrices…

Les méthodes pour résoudre les relations de récurrence

Il y a différentes méthodes dont vous pourrez vous servir, en voici quelques-unes

La suite arithmétique

On prend une suite arithmétique, on exprime la relation de récurrence de cette façon an = an-1+ d.

Afin de formuler la formule type d’une suite arithmétique, on utilisera les coefficients inconnus comme ceci an = a0+dn, puis il faut trouver chaque coefficient selon le terme premier de la suite.

La suite géométrique

Pour cela on utilisera l’exemple des nombres suivants 3, 6, 12, 24, 48…

En utilisant la relation de récurrence on aura a0= 3, an = an-1 x 2, an = 2an-1. On obtient la forme an= R x an-1 cela est une suite géométrique.

On formulera la formule type d’une suite géométrique, en employant les coefficients inconnus, ainsi on obtient selon l’exemple précédent an= 3×2n ou an= 3×2n-1

La méthode polynomiale

On utilisera la suite dont la formule est définie par la relation de récurrence suivante an= an-1 + n²-d n-. Chaque formule dans laquelle p(n) est un polynôme de variable n, aura une formule polynomiale d’un degré de p+1.

Une fonction de troisième degré comporte quatre coefficients, ainsi vous pourrez choisir n’importe quel terme de la suite pour résoudre le système, puis vous faites fonctionner la récurrence à l’envers, cela rendra le calcul plus facile.

Et enfin vous présentez la formule sous forme d’un polynôme avec les coefficients trouver.

La méthode linéaire

Cette méthode permet de résoudre toutes les récurrences dans lesquels né est une combinaison linéaire des précédents termes.

Vous formulez le polynôme caractéristique de la récurrence en remplaçant chaque an par xn puis vous divisez par xn-k cela vous permettra d’aboutir à un monôme de degré k. Puis vous trouvez la racine du polynôme caractéristique, vous pourriez utiliser le discriminant pour cela. Vous aurez besoin d’un système d’équation linéaire à partir des termes initiaux, et vous résolvez le système d’équation. Et pour finir remplacez les valeurs dans dans la formule de coefficient.

Les fonctions génératrices

La fonction génératrice est une série dans laquelle le coefficient xn est le né terme de la suite. Vous commencez par isoler le terme initiale, puis appliquez la relation de récurrence sur les termes restants, le but étant de trouver une équation qui vous permettra de résoudre la fonction génératrice A (x). Puis il faudra trouver le coefficient de xn dans la fonction génératrice A (x). Et ainsi réécrire la formule pour an en reprenant le coefficient dans la fonction génératrice.

Conseils

  • Ces méthodes utilisent des calculs complexes, c’est pour cela qu’il est utile de bien vérifier les formules.
  • Le mieux est de vous baser sur la méthode intuitive, car cela rend la tâche plus facile, si on devine la formule dès le début.

Il y a différentes façons de résoudre des relations de récurrence, de la plus simple à la plus complexe.